BCS理論への道 (2) - BCSハミルトニアンの導出と平均場近似の適用

はじめに

BCS理論を理解するのにはまずハミルトニアンを理解する必要がある。以前の記事で述べたように、電子はCooper対を組んで運動することで系全体としてのエネルギーが下がり、系がいい感じになる。この運動状態をFermionの運動エネルギー項とCooper対によるエネルギー利得の項の2つに分けて考えることでまずBCSハミルトニアンを導出する。ここで導出されるハミルトニアンは内部に演算子が積の形で含まれており、そのままでは計算できない。そこで、BCSハミルトニアンに平均場近似を適用することで線形化し、計算可能な形にもっていく。この一連の流れを本記事では順を追って導出する。

BCSハミルトニアンの定義

あるポテンシャル中における電子の運動を考える。ここでハミルトニアンは系の全エネルギーの合計であるから、超伝導状態を記述する際のBCSハミルトニアンは運動量成分の\(H_p\)と\(H_V\)に分けて考えることができる。
$$
H_{\rm{BCS}}=H_p+H_V
$$
\(H_p\)について、波数\(\boldsymbol{k}\)によって区別される運動エネルギー\(\xi_{\boldsymbol{k}}\)を持つ電子が\(n\)個存在していると考えることができる。即ち、
$$
H_p=\sum_{\boldsymbol{k}} n \xi_{\boldsymbol{k}}
$$
である。ここで電子はFermionであるから、第二量子化による生成消滅演算子を用いれば
$$
H_p=\sum_{\boldsymbol{k},\sigma} c^\dagger_{\boldsymbol{k}\sigma} c_{\boldsymbol{k}\sigma} \xi_{\boldsymbol{k}}
$$
とできる。ここで\(\sigma\)はスピンである。一方、\(H_V\)に関して、Cooper対の形成 (生成) と散乱 (消滅) を演算子を用いて表現すれば、

Cooper対生成 (波数\(\boldsymbol{k}\)) : \(c^\dagger_{\boldsymbol{k}\uparrow} c^\dagger_{-\boldsymbol{k}\downarrow}\)

Cooper対消滅 (波数\(\boldsymbol{k'}\)) : \(c_{\boldsymbol{k'}\uparrow} c_{-\boldsymbol{k'}\downarrow}\)

とすることができる。また、生成・消滅したCooper対1個あたりのポテンシャルの利得を\(V\)とするとハミルトニアンのポテンシャル項\(H_V\)は
$$
H_V=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}\uparrow} c^\dagger_{-\boldsymbol{k}\downarrow} c_{\boldsymbol{k'}\uparrow} c_{-\boldsymbol{k'}\downarrow}
$$
となる。よってこれらをまとめたハミルトニアン \(H_{\rm{BCS}}\)は
\begin{split}
H_{\rm{BCS}}&=H_p+H_V \\
&=\sum_{\boldsymbol{k},\sigma} c^\dagger_{\boldsymbol{k}\sigma} c_{\boldsymbol{k}\sigma} \xi_{\boldsymbol{k}}-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}\uparrow} c^\dagger_{-\boldsymbol{k}\downarrow} c_{\boldsymbol{k'}\uparrow} c_{-\boldsymbol{k'}\downarrow}
\end{split}
となる。

平均場近似の適用

平均場近似の手法を用いて \(H_{\rm{BCS}}\)を線形にし、計算可能な形にしていく。簡易のために、ポテンシャル項に関して
\begin{split}
c^\dagger_{\boldsymbol{k}}\equiv c^\dagger_{\boldsymbol{k}\uparrow} c^\dagger_{-\boldsymbol{k}\downarrow} \\
c_{\boldsymbol{k'}}\equiv c_{\boldsymbol{k'}\uparrow} c_{-\boldsymbol{k'}\downarrow}
\end{split}
と定義する。以下、\(\langle c \rangle\)を物理量\(c\)の期待値とする。\(c^\dagger_{\boldsymbol{k}}\)に関して、
\begin{split}
c^\dagger_{\boldsymbol{k}}&=c^\dagger_{\boldsymbol{k}}+\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle - \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle \\
&=\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle - (\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle - c^\dagger_{\boldsymbol{k}}) \\
&=\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle - \delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}}
\end{split}
とできる。ここで
$$
\delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \equiv \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle - c^\dagger_{\boldsymbol{k}}
$$
とおいた。同様に\(c_{\boldsymbol{k'}}\)に関しても
$$
c_{\boldsymbol{k'}}=\langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle - c_{\boldsymbol{k'}}
$$
とできる。\(H_V\)に代入すると
\begin{split}
H_V&=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k'}} \\

&=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack (\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle - \delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}})(\langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle - \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle) \right\rbrack \\

&=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k'}} \rangle - \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle \delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}} - \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle \delta c_{\boldsymbol{k'}} + \delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \delta c_{\boldsymbol{k'}} \right\rbrack \\

&=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k'}} \rangle - \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle (\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle - c^\dagger_{\boldsymbol{k}}) - \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle (\langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle - \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle) + \delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \delta c_{\boldsymbol{k'}} \right\rbrack \\

&=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k'}} \rangle - \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k'}} \rangle - \langle c_{\boldsymbol{k'}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle + \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle c_{\boldsymbol{k'}} + \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} + \delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \delta c_{\boldsymbol{k'}} \right\rbrack \\

&=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack - \langle c_{\boldsymbol{k'}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle + \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} + \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle c_{\boldsymbol{k'}} + \delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \delta c_{\boldsymbol{k'}} \right\rbrack

\end{split}
ここで、\(\delta c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \delta c_{\boldsymbol{k'}}\)に関して、\(\delta c\)は期待値\(\langle c \rangle \)と実際の値\(c\) (演算子なので厳密には正しくないが) の差であるから、場が十分平均的である (=得られる物理量が期待値とほぼ同じ) と考えると、2次の項は十分小さいとできるので、
$$
H_V=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack - \langle c_{\boldsymbol{k'}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle + \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} + \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle c_{\boldsymbol{k'}} \right\rbrack
$$
となる (平均場近似)。更に、\(\langle c_{\boldsymbol{k'}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle\)は既に波数に依らない定数であるから、
$$
H_V=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} + \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle c_{\boldsymbol{k'}} \right\rbrack + \rm{Const.}
$$
とできる。ここから更に波数ごとの和に変形すると
\begin{split}
H_V&=-V\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{k'}} \left\lbrack \langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} + \langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle c_{\boldsymbol{k'}} \right\rbrack + \rm{Const.} \\

&=\sum_{\boldsymbol{k}}c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \left( -V\sum_{\boldsymbol{k'}}\langle c_{\boldsymbol{k'}} \rangle \right) + \sum_{\boldsymbol{k'}}c_{\boldsymbol{k'}} \left( -V\sum_{\boldsymbol{k}}\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle \right) + \rm{Const.}
\end{split}

となる。ここで
\begin{split}
\Delta_{\boldsymbol{k}}&\equiv-V\sum_{\boldsymbol{k}}\langle c_{\boldsymbol{k}} \rangle \\
\Delta^{*}_{\boldsymbol{k}}&\equiv-V\sum_{\boldsymbol{k}}\langle c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \rangle
\end{split}
と置き、ハミルトニアンを書き直すと、
\begin{split}
H_V=\sum_{\boldsymbol{k}}c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \Delta_{\boldsymbol{k'}} + \sum_{\boldsymbol{k'}}c_{\boldsymbol{k'}} \Delta^{*}_{\boldsymbol{k}} + \rm{Const.}
\end{split}
となる。それぞれ波数について和を取り、波数\(\boldsymbol{k}\)についての式に直すと
\begin{split}
H_V&=\sum_{\boldsymbol{k}}c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \Delta_{\boldsymbol{k}} + \sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}} \Delta^{*}_{\boldsymbol{k}} + \rm{Const.} \\

&=\sum_{\boldsymbol{k}} \left[ c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \Delta_{\boldsymbol{k}} + c_{\boldsymbol{k}} \Delta^{*}_{\boldsymbol{k}} \right] + \rm{Const.}
\end{split}
とできる。また、\(H_p\)に関して、
$$
H_p=\sum_{\boldsymbol{k},\sigma} \xi_{\boldsymbol{k}} c^\dagger_{\boldsymbol{k}\sigma} c_{\boldsymbol{k}\sigma}
$$
であり、スピンと波数の組み合わせは
$$
(+\boldsymbol{k},\uparrow), (+\boldsymbol{k},\downarrow), (-\boldsymbol{k},\uparrow), (-\boldsymbol{k},\downarrow)
$$
となる。このうち、\((+\boldsymbol{k},\uparrow), (+\boldsymbol{k},\downarrow)\)と \((-\boldsymbol{k},\uparrow), (-\boldsymbol{k},\downarrow)\)はスピン反転に対して対称であるから、同一とみなすことができるので、実質的な組み合わせは
$$
(+\boldsymbol{k},\uparrow), (-\boldsymbol{k},\downarrow)
$$
となる。よって、\(H_p\)は
$$
H_p=\sum_{\boldsymbol{k}} \xi_{\boldsymbol{k}} \left(c^\dagger_{\boldsymbol{k}\uparrow} c_{\boldsymbol{k}\uparrow} + c^\dagger_{\boldsymbol{-k}\downarrow} c_{\boldsymbol{-k}\downarrow} \right)
$$
と書き下すことができる。\(H_p\)と\(H_V\)がともに波数\(\boldsymbol{k}\)に関する式になったので、平均場近似を施したBCSハミルトニアン\(H_{\rm{MF}}\)は
\begin{split}
H_{\rm{MF}}&=H_p+H_V \\

&=\sum_{\boldsymbol{k}} \xi_{\boldsymbol{k}} \left(c^\dagger_{\boldsymbol{k}\uparrow} c_{\boldsymbol{k}\uparrow} + c^\dagger_{\boldsymbol{-k}\downarrow} c_{\boldsymbol{-k}\downarrow} \right) + \sum_{\boldsymbol{k}} \left[ c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \Delta_{\boldsymbol{k}} + c_{\boldsymbol{k}} \Delta^{*}_{\boldsymbol{k}} \right] + \rm{Const.} \\

&=\sum_{\boldsymbol{k}} \left[ \xi_{\boldsymbol{k}} \left(c^\dagger_{\boldsymbol{k}\uparrow} c_{\boldsymbol{k}\uparrow} + c^\dagger_{\boldsymbol{-k}\downarrow} c_{\boldsymbol{-k}\downarrow} \right) + c^\dagger_{\boldsymbol{k}} \Delta_{\boldsymbol{k}} + c_{\boldsymbol{k}} \Delta^{*}_{\boldsymbol{k}} \right] + \rm{Const.}
\end{split}
と書き下せる。ここまでがBCSハミルトニアンの平均場近似である。