平均場近似

はじめに

学部2年生の時、Ｍ先生の統計力学の講義中で平均場近似を扱った。 確か、Ising模型のときだったと思う。当時は訳も分からない計算が出てきて、それが「平均場近似」とかいうたいそうな名前まで引っ提げていたものだから、もうこれは一部の賢い人にしかわからないムズカシイ物理なのだろうと理解を放り投げていた。その後に学部3年で受けたＳ先生の固体物理Dでも平均場近似は出てきたのだが、私はたいそう頭が悪いのでまず交換相互作用の意味が分からず、前に進めなかったので平均場近似どころの話ではなかった。
時は流れ、最近BCS理論の勉強をしている際に、この宿敵「平均場近似」が再び出現したので、ちゃんと理解してみようとした。以下に近似の意味や導出を示す。

平均場近似とは？

平均場近似とは、異なる演算子が積の形で書かれているとき、近似を用いて線形に展開し、計算可能な形にする手法の一つである。ただし、どのような系でも適用できるわけではなく、得られる物理量が十分平均的である (=期待値\(\langle\hat O\rangle\)と実際の物理量\(\hat O\)の差が十分小さい) 時に用いることができる。以下で演算子\(\hat a, \hat b\)を定義し、積\(\hat a \hat b\)を線形 (和の形) にすることをこの記事の目的とする。

平均場近似

物理量\(a, b\)に関して、それぞれに対応する演算子を\(\hat a, \hat b\)とする。
まず、\(\hat a\)に関して
\begin{split}
\hat a &= \hat a +0 \\
&= \hat a + \langle \hat a \rangle - \langle \hat a \rangle \\
&= \langle \hat a \rangle - (\langle \hat a \rangle - \hat a)
\end{split}
と変形する。ここで\(\langle \hat a \rangle\)は\(\hat a\)の期待値 (平均値) である。ここで
$$
\delta a \equiv \langle \hat a \rangle - \hat a
$$
とおく。このとき、\(\delta a\)は、期待値と実際の量との差と考えることができる。代入すると\(\hat a\)は
$$
\hat a = \langle \hat a \rangle - \delta a
$$
となる。演算子\(\hat b\)に関しても同様の手順を踏むと
$$
\hat b = \langle \hat b \rangle - \delta b
$$
とできる。演算子の積\(\hat a \hat b\)をここから線形にばらしていく。
\begin{split}
\hat a \hat b &= (\langle \hat a \rangle - \delta a)(\langle \hat b \rangle - \delta b) \\
&= \langle \hat a \hat b \rangle - \langle \hat a \rangle \delta b - \langle \hat b \rangle \delta a +\delta a \delta b \\
&= \langle \hat a \hat b \rangle - \langle \hat a \rangle (\langle \hat b \rangle - \hat b) - \langle \hat b \rangle (\langle \hat a \rangle - \hat a) +\delta a \delta b \\
&= \langle \hat a \hat b \rangle - \langle \hat a \hat b \rangle + \langle \hat a \rangle \hat b - \langle \hat b \hat a \rangle + \langle \hat b \rangle \hat a +\delta a \delta b \\
&= - \langle \hat b \hat a \rangle + \langle \hat a \rangle \hat b + \langle \hat b \rangle \hat a +\delta a \delta b
\end{split}
ここで、系が十分平均的 (=期待値と実際の値の差が小さい) と考えると2次の項である\(\delta a \delta b\)に関して、
$$
\delta a \delta b \sim 0
$$
とすることができる (平均場近似)。よって式を書き直せば
$$
\hat a \hat b \simeq - \langle \hat b \hat a \rangle + \langle \hat a \rangle \hat b + \langle \hat b \rangle \hat a
$$
となり、異なる演算子の積を和の形に書き下すことができた。