BCS理論への道 (1) - Schrodinger方程式からCooper問題を解く

はじめに

Cooper問題は超伝導を理解するうえで非常に重要な問題である。BCS理論によれば超伝導は電子2つが組 (Cooper対) となって運動することで発生すると考えられているが、前提としてCoulomb反発の発生する電子同士が1つの組として運動できるのか？という問題がある。この疑問を理論計算でどちらがエネルギー的に安定になるか導出したものがCooper問題である。私は頭があまりよくないので、第二量子化などの計算を追うとなると頭がバクハツしてしまう。よって簡単にできるSchrödinger方程式を用いた導出を行った。以下に導出過程を記す。

Cooper問題

Fermi面の上に運動量の方向が真逆で絶対値が等しい電子を2つ、すなわち波数が\(\boldsymbol{k}\)と\(\boldsymbol{-k}\)で、
$$
|\boldsymbol{p}_1|=|\boldsymbol{p}_2|=\rm{\hbar}|\boldsymbol{k}|
$$
である電子を追加する。2体電子の波動関数を以下のように定義する。ただし、簡略化のために境界条件は考えない。
\begin{split}
\phi_{\boldsymbol{k}}&=e^{i\boldsymbol{k\cdot r_{\textrm{1}}}}e^{-i\boldsymbol{k\cdot r_{\textrm{2}}}} \\
&=e^{i\boldsymbol{k\cdot (r_{\textrm{1}}-r_{\textrm{2}})}} \\
&=e^{i\boldsymbol{k\cdot r}}
\end{split}
ここで相対座標\(\boldsymbol{r_{\textrm{1}}-r_{\textrm{2}}}\)に対して\(\boldsymbol{r\equiv r_{\textrm{1}}-r_{\textrm{2}}}\)を定義している。Schrödinger方程式
\begin{equation}
\hat{H}\psi=E\psi
\end{equation}
を考えると、ハミルトニアン\(\hat{H}\)は
\begin{equation}
\hat{H}={\left(\frac{{\boldsymbol{p}_1}^2}{2m}+\frac{{\boldsymbol{p}_2}^2}{2m}\right)+V(\boldsymbol{r})}
\end{equation}
であるから、代入して
\begin{equation}
\hat{H}=\left[{\left(\frac{{\boldsymbol{p}_1}^2}{2m}+\frac{{\boldsymbol{p}_2}^2}{2m}\right)+V(\boldsymbol{r})}\right]\phi(\boldsymbol{r})=E\phi(\boldsymbol{r})
\end{equation}
ここで\(\boldsymbol{p}=\rm{\hbar}\boldsymbol{k}\)より、\(\epsilon_{\boldsymbol{k}}=\hbar^2\boldsymbol{k}^2/2m\)と定義すれば、
\begin{split}
[2\epsilon_{\boldsymbol{k}}+V(\boldsymbol{r})]\phi(\boldsymbol{r})&=E\phi(\boldsymbol{r}) \\
V(\boldsymbol{r})\phi(\boldsymbol{r})&=(E-2\epsilon_{\boldsymbol{k}})\phi(\boldsymbol{r})
\end{split}
とできる。また、全波動関数\(\phi(\boldsymbol{r})\)は、波数による波動関数\(\phi_{\boldsymbol{k}}\)を用いて
\begin{split}
\phi(\boldsymbol{r})=\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}\phi_{\boldsymbol{k}}
\end{split}
と表すことができる。ここで\(c_{\boldsymbol{k}}\)は規格化定数
\begin{split}
\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}=1
\end{split}
である。波動関数を代入すれば
\begin{split}
V(\boldsymbol{r})\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k\cdot r}}=(E-2\epsilon_{\boldsymbol{k}})\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k\cdot r}}
\end{split}
となる。両辺に\(e^{-i\boldsymbol{k'\cdot r}}\)を作用させ、全空間で積分すると
\begin{split}
\int^{\infty}_{-\infty} {\rm{d^3}}\boldsymbol{r} \left(V(\boldsymbol{r})\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{(k-k')\cdot r}}\right)&=\int^{\infty}_{-\infty} {\rm{d^3}}\boldsymbol{r} \left((E-2\epsilon_{\boldsymbol{k}})\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{(k-k')\cdot r}}\right) \\
\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}\int^{\infty}_{-\infty} {\rm{d^3}}\boldsymbol{r} V(\boldsymbol{r})e^{i\boldsymbol{(k-k')\cdot r}}&=(E-2\epsilon_{\boldsymbol{k}})\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}\int^{\infty}_{-\infty} {\rm{d^3}}\boldsymbol{r} e^{i\boldsymbol{(k-k')\cdot r}}
\end{split}
ここで、左辺の積分は\(\boldsymbol{r}\rightarrow \boldsymbol{k-k'}\)のFourier変換
\begin{split}
\int^{\infty}_{-\infty} {\rm{d^3}}\boldsymbol{r} V(\boldsymbol{r})e^{i\boldsymbol{(k-k')\cdot r}}=V(\boldsymbol{k-k'})
\end{split}
であり、右辺の積分はDelta関数
\begin{split}
\int^{\infty}_{-\infty} {\rm{d^3}}\boldsymbol{r} e^{i\boldsymbol{(k-k')\cdot r}}=\delta(\boldsymbol{k-k'})
\end{split}
であるので、それぞれ書き換えると
\begin{split}
\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}V(\boldsymbol{k-k'})&=(E-2\epsilon_{\boldsymbol{k}})\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}\delta(\boldsymbol{k-k'}) \\
&=(E-2\epsilon_{\boldsymbol{k}})c_{\boldsymbol{k'}}
\end{split}
ここで相互作用\(V(\boldsymbol{k-k'})\)に関して、Fermi面付近にのみ存在し、かつ一定である、すなわち
\begin{equation}
V(\boldsymbol{k-k'})=
\begin{cases}
-g & (g>0, |\epsilon_{\boldsymbol{k,k'}}-\epsilon|<\hbar\omega_{\rm{D}}) \\
0 & (\textrm{other})
\end{cases}
\end{equation}
と考えると、
\begin{equation}
-g\sum_{\boldsymbol{k}}c_{\boldsymbol{k}}=(E-2\epsilon_{\boldsymbol{k}})c_{\boldsymbol{k'}}
\end{equation}
となる。\(c_{\boldsymbol{k'}}\)について整理すると
\begin{equation}
c_{\boldsymbol{k'}}=\frac{g}{2\epsilon_{\boldsymbol{k}}-E}
\end{equation}
両辺について和を取ると
\begin{split}
\sum_{\boldsymbol{k'}}c_{\boldsymbol{k'}}&=\sum_{\boldsymbol{k}}\frac{g}{2\epsilon_{\boldsymbol{k}}-E} \\
1&=g\sum_{\boldsymbol{k}}\frac{1}{2\epsilon_{\boldsymbol{k}}-E}
\end{split}
ここで、波数に関する総和とエネルギーに関する総和は両者とも状態数の数え上げであるので
\begin{equation}
\sum_{\boldsymbol{k}}\rightarrow\int D(\epsilon){\rm{d}}\epsilon
\end{equation}
と変換できる。よって
\begin{equation}
1=g\int^{\epsilon_{\rm{F}}+\hbar\omega_{\rm{D}}}_{\epsilon_{\rm{F}}}{\rm{d}}\epsilon\frac{D(\epsilon)}{2\epsilon-E}
\end{equation}
とできる。ここでFermi面付近のみ考えているので、\(D(\epsilon)=D(\epsilon_{\rm{F}})\equiv D_{\rm{F}}\)とすれば\begin{equation}
1=gD_{\rm{F}}\int^{\epsilon_{\rm{F}}+\hbar\omega_{\rm{D}}}_{\epsilon_{\rm{F}}}{\rm{d}}\epsilon\frac{1}{2\epsilon-E}
\end{equation}
となる。積分を評価すると
\begin{split}
1&=gD_{\rm{F}}\int^{\epsilon_{\rm{F}}+\hbar\omega_{\rm{D}}}_{\epsilon_{\rm{F}}}{\rm{d}}\epsilon\frac{1}{2\epsilon-E} \\
&=gD_{\rm{F}}{\rm{ln}}\frac{2\epsilon_{\rm{F}}+2\hbar\omega_{\rm{D}}-E}{2\epsilon_{\rm{F}}-E} \\
\frac{1}{gD_{\rm{F}}}&={\rm{ln}}\frac{2\epsilon_{\rm{F}}+2\hbar\omega_{\rm{D}}-E}{2\epsilon_{\rm{F}}-E}
\end{split}
両辺の対数を取って\(E\)について整理すると
\begin{split}
{\rm{exp}}\left(\frac{1}{gD_{\rm{F}}}\right)&=\frac{2\epsilon_{\rm{F}}+2\hbar\omega_{\rm{D}}-E}{2\epsilon_{\rm{F}}-E} \\
(2\epsilon_{\rm{F}}-E){\rm{exp}}\left(\frac{1}{gD_{\rm{F}}}\right)&=2\epsilon_{\rm{F}}+2\hbar\omega_{\rm{D}}-E \\
2\epsilon_{\rm{F}}-E&=(2\epsilon_{\rm{F}}+2\hbar\omega_{\rm{D}}-E){\rm{exp}}\left(-\frac{1}{gD_{\rm{F}}}\right) \\
E&=2\epsilon_{\rm{F}}-(2\epsilon_{\rm{F}}-E+2\hbar\omega_{\rm{D}}){\rm{exp}}\left(-\frac{1}{gD_{\rm{F}}}\right) \\
\end{split}
ここでFermi面付近の運動を考えているので、\(2\epsilon_{\rm{F}}\sim E\)と近似すれば
\begin{equation}
E=2\epsilon_{\rm{F}}-2\hbar\omega_{\rm{D}}{\rm{exp}}\left(-\frac{1}{gD_{\rm{F}}}\right)
\end{equation}
と求まる。ここでペアを組んだ状態の電子のエネルギー\(E\)と束縛状態にない独立したFermi面付近棒の電子のエネルギーの和\(2\epsilon_{\rm{F}}\)を比較するとエネルギー差\(\delta\epsilon\)は
\begin{split}
\delta\epsilon\ &\equiv2\epsilon_{\rm{F}}-E \\
&=2\hbar\omega_{\rm{D}}{\rm{exp}}\left(-\frac{1}{gD_{\rm{F}}}\right)
\end{split}
となり、常に
\begin{equation}
\delta\epsilon>0
\end{equation}
となる。よってFermi面近傍の電子は独立して存在するよりも2つの電子でペア (Cooper対) を組んでいるほうがエネルギー的に安定であるということが示された。