量子力学　口頭試問対策

Planck定数

Planck定数とは、量子力学において光のエネルギー\(\varepsilon\)と光の振動数\(\nu\)の間の比例定数と定義される。式で表せば
$$\varepsilon=h\nu$$
となる。Planck定数は量子力学を位置づけるパラメーターであり、古典近似では\(h\rightarrow{0}\)になることが期待される。

波動関数

波動関数とは、量子状態を表す複素関数である。Bornの確率解釈によれば波動関数は確率密度に関連する関数であり、位置\(\boldsymbol{r}\)近傍の微小体積区間\({\rm{d}}\boldsymbol{r}\)中の粒子の存在確率は波動関数の絶対値の2乗に等しい、つまり粒子の存在確率を\(P\)とすると
$$P(\boldsymbol{r},t)=|\Phi(\boldsymbol{r},t)|^2$$
と記述できるものである。

Schrodinger方程式

量子力学において、波動関数の振る舞いはSchrodinger方程式によって記述される。例えば時間に依存しないSchrodinger方程式は
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})\right]\phi(\boldsymbol{r})=E\phi(\boldsymbol{r})$$
と記述される。ポテンシャルが井戸型や調和振動子型であるとき、厳密解を導出することができる。

不確定性原理

不確定性原理とは、2つの系の物理量を観測したとき、その不確定性が同時に0になることは無いとする原理のことである。とくに2つの物理量が位置と運動量であったとき、位置と運動量の不確定\(\Delta{x},\Delta{p}\)の間には
$$\Delta{x}\cdot\Delta{p}\geq\frac{\hbar}{2}$$
の関係性がある。

調和振動子

調和振動子とは、高校物理でいうばねのことである。調和振動子型ポテンシャル\(V(x)\)は
$$V(x)=\frac{1}{2}kx^2$$
で表される。調和振動子型のポテンシャルに束縛された粒子のエネルギー固有値\(E_{n}\)は
$$E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$
で表される。調和振動子型ポテンシャルに束縛された粒子は基底状態\(n=0\)においても、不確定性原理からくる量子的揺らぎによりエネルギーを持つ。このことを零点振動という。

Heisenberg描画

Heisenberg描画とは、波動関数が時間発展せず、演算子が時間発展するというモデルである。Schrodinger描画においては波動関数が時間に依存し、演算子は時間発展しなかった。
これらの描画は物理的には同値であり、時間依存性をどこに定めるかの違いがあるのみである。

電子軌道

古典的電子軌道はBohr模型などのいわば太陽系のような形の模型で説明されるのであった。しかし、量子論においては電子は粒子ではなく波としての性質も持つために、Bohr模型などでは軌道の形が説明できない。電子軌道は3つの量子数によって決定づけられる。

・主量子数
主量子数\(n\)は、電子が入る電子殻\(K,L,M...\)殻に\(n=1,2,3...\)と対応する。

・方位量子数
方位量子数\(l\)は、電子が入る軌道の種類を表している。軌道には\(s,p,d,f...\)という種類があり、これに\(l=0,1,2,3...\)と対応する。

・磁気量子数
磁気量子数\(m\)は軌道の方向を決定する指標となる。\(m\)は
$$-l\leq{m}\leq{l}$$
で定義される。