電磁気学　口頭試問対策

Maxwell 方程式

Maxwell方程式は電磁気学を記述する最も基本的な4つの式である。以下、Maxwell方程式の微分形を示す。

・Gaussの式(電場に関するGaussの式)
$$\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho$$
電荷が存在するとき、そこに電場が発生することを意味する。難しく言えば、電荷が存在するときには電場の湧き出しが存在するということ。

・Gaussの式(磁場に関するGaussの式)
$$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$$
磁気単極子が存在しないことを意味する。磁気単極子とは、N極もしくはS極のどちらか一方の性質しか持たないもののこと。磁場には磁気双極子(N極とS極がセットになっているもの)しか存在しないので空間における磁場の湧き出しは足し合わせると0になる。

・Faraday則(電磁誘導)
$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}$$
磁束密度の変化によって電場が生じるという意味。
(なぜ負号がつくのか？簡単な実験を考えよう。1巻きの電線を考える。垂直上向きを正として正の磁束密度の時間変化を与えると、それを打ち消すように磁場を発生させようとして上から見て時計回りの向きに電場(電流)が生じる。物理において回転は反時計回りが正と定義されているのでこの電場の回転方向は負である。よって負号が現れるのである。)

・Ampereの法則
$$\nabla\times\boldsymbol{H}=\frac{\partial{\boldsymbol{D}}}{\partial{t}}+\boldsymbol{j}$$
\(\boldsymbol{j}\)は電流密度。電束密度(電場)の変動もしくは電流によって磁場の回転が生じるという意味。磁場は右手の親指を電流、もしくは正の電束密度の時間変化としたとき、指を巻く方向に発生する。

電磁場

電磁場中で成立する力や法則についてまとめる。

電場が満たす式

・Coulomb力
電荷\(q\)を持つ粒子は電場\(\boldsymbol{E}\)中でCoulomb力
$$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E}$$
を受ける。

・Coulombの法則
電荷\(q_0\)を位置\(r_0\)、電荷\(q_1\)を位置\(r_1\)に置いたとき、電荷\(q_1\)が受ける力\(\boldsymbol{F}\)は
$$\boldsymbol{F}=\frac{{q_0}{q_1}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r_1-r_0}}{|\boldsymbol{r_1-r_0}|^3}$$
と表される。Coulomb力の定義から、
$$\boldsymbol{E}=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r_1-r_0}}{|\boldsymbol{r_1-r_0}|^3}$$
とすることができる。ここで\(E\)は電荷\(q_0\)が位置\(r_1\)に作り出す電場である。

・Gaussの式(電場に関するGaussの式)
$$\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho$$
電荷が存在するとき、そこに電場が発生することを意味する。難しく言えば、電荷が存在するときには電場の湧き出しが存在するということ。

・Faraday則(電磁誘導)
$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}}$$
磁束密度の変化によって電場が生じるという意味。

磁場が満たす式

・Ampereの法則
$$\nabla\times\boldsymbol{H}=\frac{\partial{\boldsymbol{D}}}{\partial{t}}+\boldsymbol{j}$$
\(\boldsymbol{j}\)は電流密度。電束密度(電場)の変動もしくは電流によって磁場の回転が生じるという意味。磁場は右手の親指を電流、もしくは正の電束密度の時間変化としたとき、指を巻く方向に発生する。

・Biot-Savartの法則
電流とその周りの磁場の関係を表す。微小長さの電流素片\(I{\rm{d}}\boldsymbol{l}\)が原点に存在するとき、位置\(\boldsymbol{r}\)に電流素片が作る微小磁場\({\rm{d}}H\)は
$${\rm{d}}H=\frac{1}{4\pi}\frac{I{\rm{d}}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}}{|r|^3}$$

電磁波

電磁波とは時間変動する電磁場のことである。Maxwell方程式を解析的に解くことによって電磁波は横波であり、空間を伝播する速さは
$$v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$$
であるとわかる。

静電場における渦無しの法則

静電場において、電荷から発生する電場は無限遠に放射状に発散するか、符号の違う電荷に吸い込まれていくかのどちらかであるという法則。時間変化する電場の場合、磁束密度の時間変化によって電場が渦を巻くことによって渦無しの法則は成り立たない。

Lorentz力

電場中を運動する荷電粒子が受ける力のことをLorentz力といい、以下の式で表される。
$$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E}+q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$$
ここで\(q\)は荷電粒子の電荷、\(v\)は荷電粒子の運動の速さを表す。