慣性モーメント

慣性モーメントは物体の回転のしにくさを表す物理量である。質点が\(n\)個存在する空間を3次元極座標系で考える。\(i\)番目の質点の質量を\(m_{i}\),\(z\)軸からの距離を\(r_{i}\)とするとこの質点系の\(z\)軸周りの慣性モーメント\(I_{z}\)は
$$I_{z}=\sum^{n}_{i=1}m_{i}r^2_{i}$$
と定義される。

剛体の慣性モーメントを考えた場合、剛体は質点の連続的な集まりであると考えることができるので、慣性モーメントは
$$I=\int L^{2}(r,\theta,\phi) {\rm{d}}m$$
と定義できる。ここで\(L(r,\theta,\phi)\)は基準とする軸からの距離である(例えば軸の基準を\(z\)軸とすれば\(L(r,\theta,\phi)=r{\rm{sin}}\theta\)となる)。

運動の三法則

運動の三法則とは慣性の法則、運動の法則、作用反作用の法則の３つの原理のことである。

慣性の法則は、物体に外力が働いていないとき、その物体は加速度運動をしないという法則である。これは慣性系の定義になる。

運動の法則とは、物体に外力が加わったとき、その物体は力の方向に加速度運動をするという法則である。数式で表記すれば

$$F=ma$$
となる。

作用反作用の法則とは、物体が他の物体に力を及ぼすとき、物体は及ぼした力と同じ大きさで逆向きの力を受けるという法則である。数式で表記すると
$$F_{12}=-F_{21}$$
となる。

角運動量

角運動量とは物体の回転の度合いを表す物理量である。物体の位置を\(\boldsymbol{r}\),運動量を\(\boldsymbol{p}\)とすると、角運動量\(\boldsymbol{L}\)は

$$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$$
と定義できる。また、物体が角速度\(\boldsymbol{\omega}\)で回転運動をしているとき、物体の慣性モーメントを\(I\)とすれば

$$\boldsymbol{L}=I\boldsymbol{\omega}$$
と表すこともできる。これは並進運動における運動量\(\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}\)と対応していると見ることができる。

剛体の運動

剛体とは、形が変化しない物体のことである。剛体の運動は並進と回転に分けることができる。

剛体の並進運動はNewtonの運動方程式によって記述される。剛体に加わる外力を\(\boldsymbol{F}\),剛体の運動量を\(\boldsymbol{P}\)とすれば
$$\frac{{\rm{d}}\boldsymbol{P}}{{\rm{d}}t}=\boldsymbol{F}$$
と記述できる。

剛体の回転運動については回転運動方程式で記述することができる。剛体に加わる力のモーメントを\(N=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}\),剛体の角運動量を\(\boldsymbol{L}\)とすれば
$$\frac{{\rm{d}}\boldsymbol{L}}{{\rm{d}}t}=\boldsymbol{N}$$
と記述できる。

保存力

保存力とは、その力がした仕事の総和が経路によらず一定になるような力のことである。ある力\(\boldsymbol{F}\)が保存力であるとき、以下の式が成り立つ。
$$\int_{C_1}\boldsymbol{F}\cdot{\rm{d}}\boldsymbol{r}=\int_{C_2}\boldsymbol{F}\cdot{\rm{d}}\boldsymbol{r}$$
ここで\(C_1\)と\(C_2\)は始点と終点が同一な異なる経路である。保存力の主な例としては重力、静電力などがある。

コリオリ力

コリオリ力とは慣性座標系と回転座標系のずれによって発生するように見える見かけの力である。反時計回りに回転する大きな回転座標系が慣性系の中に存在することを考える。回転座標系にいる観測者がボールを北に投げたとする。すると回転座標系に乗っていない慣性系の観測者からすればボールは北に向かって真っすぐに飛んでいくことが観測できる。一方、回転する円盤の上にいる観測者からすれば系は回転しているので投げたボールがまっすぐに飛ばず右にずれて飛んでいくということが観測できる(図解はこのページがわかりやすい)。

コリオリ力\(F\)は慣性系と回転座標系の変換を行うことで
$$F=-2m\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}$$
と導出することができる。

向心力

向心力とはコリオリ力同様、慣性座標系と回転座標系のずれによって発生する見かけの力である。回転座標系で円運動をする物体を慣性系から観測すると、あたかも中心方向に向かって常に同じ大きさの力が働いているように見える。この力のことを向心力という。向心力\(F\)は物体の角速度を\(\omega\),質量を\(m\),物体の運動の速さを\(v\),回転運動の半径を\(r\)とすれば
$$F=mr\omega^2=m\frac{v^2}{r}$$
と表すことができる。

解析力学(突貫工事、修正予定なし)

仮想仕事の原理

仮想仕事の原理とは、力学的釣り合いを示す原理である。力学系において力が釣り合っているとき、
$$\sum_i{\boldsymbol{F_i}}=0$$
となる。ここで、微小変位\(\delta{\boldsymbol{r}}\)を物体に与えたとすると、この物体がされる微小仕事\(\delta{W}\)は
$$\delta{W}=\sum_i{\boldsymbol{F_i}\cdot{\delta{\boldsymbol{r}}}}$$
となる。ここで、力学系において釣り合いが満たされているのであれば
$$\sum_i{\boldsymbol{F_i}\cdot{\delta{\boldsymbol{r}}}}=0$$
となる。すなわち、仮想仕事\(\delta{W_i}\)の足し合わせ\(\sum_i{\delta{W_i}}=\delta{W}\)が0であれば、物体は釣り合っているということである。

Legendre変換

Legendre変換とは、ある関数\(f(x,y,z)\)の独立変数を\(g(\partial{f}/\partial{x},y,z)\)にする変換のことである。

ラグランジアン・ハミルトニアン

ラグランジアン\(L\)とは、物体の運動エネルギーを\(T\)、ポテンシャルエネルギーを\(U\)としたとき、
$$L=T-U$$
で表される量である。物理系の運動はすべてラグランジアンの極小値をとるように運動する(最小作用の原理)という原理がある。また、Euler-Lagrange方程式を用いることで、複雑な力学系においても運動方程式を導出することができる。
ハミルトニアン\(H\)とはラグランジアン\(L\)をLegendre変換することで得られる量であり、
$$H=T+U$$
と表される。ハミルトニアンは系のエネルギーを表す量であり、量子力学においては量子化されたハミルトニアン演算子はエネルギーの固有値を持つ。

Euler-Lagrange方程式

ラグランジアンを\(L\)、一般化座標を\(q_i\)とすると
$$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}t}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}$$
の式が成り立つ。これをEuler-Lagrange方程式という。

正準変換・正準方程式

正準変換とは、ある座標系の変換に対して正準方程式が成り立つ変換のことを言う。
正準方程式とは、一般化座標を\(q_i\)、一般化運動量を\(p_i\)としたときに成り立つ
$$\frac{{\rm{d}}q_i}{{\rm{d}}t}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_i}}$$
$$\frac{{\rm{d}}p_i}{{\rm{d}}t}=-\frac{\partial{H}}{\partial{q_i}}$$
の式のことである。